Born散射级数

Born散射级数是由Lippmann-Schwinger积分方程推导而来的，在应用这个方程时，除预测地震响应的实际介质外，我们还需要选择一个背景介质(参考介质)。

下面我们从频率域中控制压力场的波动方程开始推导相关方程。若$P({\rm \textbf x}, \omega, {\rm \textbf x}_s)$表示由位于${\rm \textbf x}_s$处点源激发， 在${\rm \textbf x}$处记录的压力场，它遵守以下方程：

$$L({\rm \textbf x}, \omega) P({\rm \textbf x}, \omega, {\rm \textbf x}_s) = -S(\omega)\delta ({\rm \textbf x} - {\rm \textbf x}_s), \tag{11.33}$$

其中，

$$L({\rm \textbf x}, \omega) = \omega^2K({\rm \textbf x}) + {\rm {div}}[\sigma({\rm \textbf x}) \textbf{grad}],\tag{11.34}$$

$K({\rm \textbf x})$表示压缩系数(体积模量的倒数)，$\sigma({\rm \textbf x})$为比容积(密度的倒数)，$S(\omega)$为位于${\rm \textbf x}_s$的源。

波在背景介质中传播所产生的压力场$P_0=P_0({\rm \textbf x}, \omega, {\rm \textbf x}_s)$满足如下方程：

$$L_0({\rm \textbf x}, \omega) P_0({\rm \textbf x}, \omega, {\rm \textbf x}_s) = -S(\omega)\delta ({\rm \textbf x} - {\rm \textbf x}_s), \tag{11.33}$$

并有：

$$L_0({\rm \textbf x}, \omega)=\omega^2 K_0 + {\rm {div}}[\sigma_0 \textbf{grad}]\tag{11.36}$$

上式中$L_0=L_0({\rm \textbf x}, \omega)$为描述背景介质波动方程的微分算子。$K_0$为压缩系数，$\sigma_0$为比容积。

同时，我们还需要背景介质中波动方程的格林函数$G_0=G_0({\rm \textbf x}, \omega, {\rm \textbf x}_s)$, 其定义如下：

$$L_0({\rm \textbf x}, \omega)G_0({\rm \textbf x}, \omega;{\rm \textbf x}^{\prime})=-\delta({\rm \textbf x}-{\rm \textbf x}^{\prime})\tag{11.37}$$

所以，

$$P_0({\rm \textbf x}, \omega, {\rm \textbf x}_s)=S(\omega)G_0({\rm \textbf x}, \omega;{\rm \textbf x}_s) \tag{11.38}$$

另一个我们需要的量是格林函数的逆：$G_{0}^{-1} = G_{0}^{-1}({\rm \textbf x}, \omega;{\rm \textbf x}_s)$，其由如下公式所定义：

$$\int d{\rm \textbf x}^{\prime}G_0({\rm \textbf x}, \omega;{\rm \textbf x}^{\prime}) G_0^{-1}({\rm \textbf x}^{\prime}, \omega;{\rm \textbf x}^{\prime\prime}) \tag{11.39}$$

利用压力场$P_0$和格林函数$G_0$，Lippmann-Schwinger积分方程给出了压力场$P$的一个解，即在实际介质中的任何地方，都有如下积分方程:

$$\begin{align} \notag P({\rm \textbf x}, &\omega, {\rm \textbf x}_s) = P_0({\rm \textbf x}, \omega, {\rm \textbf x}_s) \\ \notag &+\int_D d{\rm \textbf x}^{\prime} G_0({\rm \textbf x}, \omega;{\rm \textbf x}^{\prime}) W({\rm \textbf x}^{\prime}, \omega) P({\rm \textbf x}, \omega;{\rm \textbf x}^{\prime}) \end{align}\tag{11.40}$$

其中，

$$W({\rm \textbf x}, \omega) = L({\rm \textbf x}, \omega)-L_0({\rm \textbf x}, \omega)\tag{11.41}$$

$D$为$W({\rm \textbf x}, \omega)$的定义域($D$外$W({\rm \textbf x}, \omega)$为null)，如图11.6中所示，11.40可用如下更简洁形式表示：

$$P=P_0+G_0WP\tag{11.42}$$

或者，

$$P=[I-G_0W]^{-1}P_0\tag{11.43}$$

其中，$G_0({\rm \textbf x}, \omega, {\rm \textbf x}^{\prime})$为$G_0$的核，$W({\rm \textbf x}, \omega)$为势$W$的核。
将11.42泰勒展开后即可得到$Born$逆散射级数：

$$\begin{align} \notag P &= P_0 \\ \notag&+G_0WP_0 \\ \notag&-G_0WG_0WP_0 \\ \notag&+G_0WG_0WG_0WP_0-... \notag\end{align} \tag{11.44}$$

或者，

$$\begin{align} \notag P &= P_0 \\ \notag&+SG_0WG_0 \\ \notag&-SG_0WG_0WS_0 \\ \notag&+SG_0WG_0WG_0WS_0-... \end{align} \tag{11.45}$$

$Born$散射级数也可写为：

$$P=P_0+SG_0W^{\prime}G_0\tag{11.46}$$ $$\begin{align} \notag W^{\prime} &= W \\ \notag & - WG_0 W \\ \notag & + WG_0 WG_0 W \\ \notag & - WG_0 WG_0 WG_0 W \end{align} \tag{11.47}$$

忽略$Born$级数(公式11.44和11.45)三阶及以上项即可得到$Born$近似：

$$P \approx P_0+SG_0WG_0 \tag{11.48}$$

将11.46做如下替换也可得到11.48所示的$Born$近似：

$$W^{\prime} = W.\tag{11.49}$$

通过不同的方式均能够在保证$P$和$W$线性关系的同时得到$Born$近似。